BAHAGIA BELAJAR ONLINE : MATEMATIKA

Tampilkan postingan dengan label MATEMATIKA. Tampilkan semua postingan

Sabtu, 26 November 2022

PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR

Perpangkatan dan Bentuk Akar

1. Perpangkatan

Perpangkatan dalam matematika bisa diartikan sebagai pengulangan dari bilangan itu sendiri.

Perpangkatan dapat dilambangkan dengan:

a pangkat n = a x a x a x a ............ seterusnya sebanyak dengan jumlah n

Sebelum mengetahui lebih lanjut, detikers perlu memahami dasar bilangannya dulu seperti contoh di bawah ini:

Contoh:

1² = 1 (1x1) → dibaca 1 pangkat dua atau 1 kuadrat sama dengan 1

2² = 4 (2x2) → dibaca 2 pangkat dua atau 2 kuadrat sama dengan 4

3² = 9 (3x3) → dibaca 3 pangkat dua atau 3 kuadrat sama dengan 9

12³ = 12 x 12 x 12 = 1.728

dan bilangan serta pangkat-pangkat seterusnya

Jadi, bilangan berpangkat dua (kuadrat) adalah nilai perkalian sebuah bilangan dengan bilangan dirinya sendiri.

Contoh Soal Perpangkatan:

Terdiri dari dua bilangan, seperti 78² = ...

Penyelesaian:

78² = (70 + 8)²

= (70 + 8) (70 + 8)

= 70² + 2 (70 × 8) + 8²

= 4900 + 1120 + 64

= 6084

Jenis operasi bilangan berpangkat terdiri dari penjumlahan berpangkat, perkalian berpangkat, pembagian berpangkat, dan pengurangan berpangkat.

Berikut Contohnya:

A. Perpangkatan Penjumlahan

Perpangkatan penjumlahan bisa dikerjakan menggunakan tanda kurung untuk semua bilangan berpangkatnya kemudian dijumlahkan.

4² + 5² =...

= (4 x 4) + (5 x 5)

= 16 + 25

=41

B. Perpangkatan Pengurangan

8² - 5² =...

= (8 x 8) - (5 x 5)

= 64 - 25

=39

Atau langsung dengan cara :

8² - 5² =

= 64 - 25

= 39

C. Perpangkatan Perkalian

3² x 2² =...

=(3 x 3) x (2 x2)

= 9x 4

= 36

D. Pembagian Berpangkat

6² : 2² =...

=(6 x 6) : (2 x 2)

= 36 : 4

= 9

Sebelum mengetahui pengertian dari transformasi geometri. Kita jabarkan lebih dulu apa itu arti transformasi dan apa itu geometri. Transformasi berarti perubahan sebuah struktur menjadi bertambah, berkurang atau tertata kembali unsurnya. Sedangkan geometri berarti cabang matematika yang menjelaskan soal sifat garis, sudut, bidang, dan ruang.

Berdasarkan dua definisi tersebut transformasi geometri dapat disimpulkan sebagai perubahan bentuk dari sebuah garis, sudut, ruang, dan bidang.

Dalam kehidupan sehari-hari, transformasi geometri ini biasanya dimanfaatkan untuk pembuatan karya-karya seni dan desain arsitektur.

Jenis-jenis Transformasi Geometri

Transformasi geometri itu sendiri terdiri dari empat jenis, yaitu translasi, rotasi, refleks, dan dilatasi.

Berikut adalah pemaparan lengkap masing-masing jenis transformasi geometri:

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi atau pergeseran merupakan jenis dari transformasi geometri di mana terjadi perpindahan atau pergeseran dari suatu titik ke arah tertentu di dalam sebuah garis lurus bidang datar. Akibatnya, setiap bidang yang ada di garis lurus tersebut juga akan digeser dengan arah dan jarak tertentu.

Translasi pada dasarnya hanya mengubah posisi, bukan bentuk dan ukuran dari bidangnya.

Contoh sederhana dari translasi adalah peristiwa yang terjadi di perosotan. Dimana orang yang sama dengan sebuah bidang berpindah posisi dari titik awal (awal perosotan) dan titik akhir (ujung perosotan). Contoh lainnya adalah kendaraan yang berjalan di jalan lurus, dari kejadian itu bisa dilihat bahwa kendaraan yang merupakan objek tidak mengalami perubahan ukuran tetapi hanya berpindah tempat.

Rumus dari translasi itu sendiri adalah:

(x’,y’) = (a,b) + (x,y)

Keterangan:

x’, y’ = titik bayangan

x,y = titik asal

a,b = vektor translasi

Contoh soal transformasi geometri jenis translasi

Tentukan titik bayangan jika titik A adalah (2, 4) dan ditranslasikan menjadi (6, 3)

Jawab:

(x’, y’) = (x +a, y+b)

(x’, y’) = (2+6, 4+3)

(x’, y’) = (8, 7)

Maka titik bayangannya ada di (8, 7)

2. Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau juga dikenal dengan perputaran dalam transformasi geometri sesuai dengan namanya berarti sebuah perputaran yang ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah rotasi, dan juga besar dari sudut rotasi. Prinsipnya adalah memutar terhadap sudut dan titik pusat yang memiliki jarak yang sama dengan titik yang diputar.

Karena hanya berputar, maka transformasi ini tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah bidang.

Contoh sederhananya adalah cara kerja dari bianglala di mana lingkaran memutari titik tengah. Contoh lainnya adalah dalam gangsing. Cara kerja gangsing nyaris sama dengan bianglala karena berputar mengitari titik tengah.

Ada beberapa Rumus dari rotasi, yaitu:

Rotasi 90 derajat dengan pusat (a, b): (x,y) maka (-y + a + b, x – a + b)

Rotasi 180 derajat dengan pusat (a,b) : (x,y) maka (-x -2a, -y +2b)

Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (a, b) : (x, y) maka (y – b + a, -x + a + b)

Rotasi sebesar 90 derajat dengan pusat (0, 0) : (x, y) maka (-y,x)

Rotasi 180 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (-x, -y)

Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (y, -x)

Contoh soal transformasi geometri jenis rotasi

Sebuah titik A (3,2) dirotasikan terhadap titik O (0,0) sejauh 90 derajat searah dengan jarum jam. Tentukanlah bayangan dari titik A.

Jawab:x’, y’) = (cos90o sin 90o, –sin 90o cos 90o) (3,2)

(x’, y’) = (0 1 , -1 0) (3,2)

(x’, y’) = (-2,3)

3. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi atau pencerminan dalam transformasi geometri berarti perubahan dengan memindahkan titik dengan sifat dari suatu cermin datar. Ada dua sifat yang dimiliki dalam transformasi refleksi. Pertama adalah jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan titik ke cermin. Kedua adalah geometri yang dicerminkan saling berhadapan satu sama lain.

Contoh sederhana dari refleksi ini tentunya adalah ketika kita sedang bercermin.

Rumus umum dari refleksi antara lain:

Refleksi terhadap sumbu -x : (x,y) maka (x, -y)

Refleksi terhadap sumbu -y : (x,y) maka (-x, y)

Refleksi terhadap garis y = x : (x, y) maka (y, x)

Refleksi terhadap garis y = -x : (x, y) maka (-y, -x)

Refleksi terhadap garis x = h : (x, y) maka (2h, -x,y)

Refleksi terhadap garis y = K : (x. y) maka (x, 2k – y)

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

Pengertian dan Bentuk/Rumus Fungsi Kuadrat

rumus fungsi kuadrat

Ilustrasi rumus-rumus Matematika (Dok. Pixabay)

Sebelum melangkah lebih jauh, mungkin Sobat Zenius masih belum paham apa yang dimaksud dengan fungsi kuadrat.

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang memiliki variabel dengan pangkat tertinggi dua. Bentuk umum dari fungsi kuadrat menyerupai bentuk persamaan kuadrat.

Apakah Sobat Zenius masih ingat bagaimana bentuk persamaan kuadrat? Bentuknya seperti ini, guys, ax² + bx + c = 0. Nah, kalau bentuk umum fungsi kuadrat bagaimana? Hanya berbeda sedikit saja, nih, Sobat Zenius. Perhatikan di bawah ini.

f(x) = ax² + bx + c

f(x) = fungsi kuadrat

x = variabel

a, b = koefisien

c = konstanta

a ≠ 0

Fungsi Kuadrat dengan Tabel, Persamaan, dan Grafik

rumus fungsi kuadrat

Diagram Cartesius

Pada submateri ini, kita akan membahas tentang bagaimana bentuk-bentuk dari fungsi kuadrat. Langsung saja, guys. Misal kita punya fungsi kuadrat y = x² dan ingin menggambar fungsi tersebut, kita akan membuat tabelnya terlebih dahulu.

Kita ambil contoh nilai-nilainya seperti pada contoh di bawah ini. Kemudian, tandai titik-titik potongnya dan kita dapati grafik fungsi kuadratnya. Catatan yang perlu diketahui Sobat Zenius, garis pada grafik tidak boleh tegak lurus karena akan membedakan nilai-nilai yang memenuhinya.

Rumus Fungsi Kuadrat

Grafik Fungsi Kuadrat

Sebelumnya kita sudah lihat grafik berdasarkan tabel, sekarang kita akan melihat grafik dari persamaan. Persamaan akan memudahkan menggambar titik potong x dan y.

Misalnya, kita punya persamaan y = x² + 2x +1, kita cari titik potong terhadap sumbunya.

Titik potong terhadap sumbu y

x = 0

y = 0² + 2(0) +1

y = 1

Titik potong (0, 1)

Titik potong terhadap sumbu x

x² + 2x +1 = 0

(x + 1)(x + 1) = 0

x = -1

Titik potong (-1, 0)

Setelah mengetahui nialinya, kita coba gambar grafiknya.

Rumus Fungsi Kuadrat

Grafik Fungsi Kuadrat

Hubungan antara Koefisien dengan Grafik Fungsi Kuadrat

Lanjut ke pembahasan selanjutnya yaitu mengenai materi grafik fungsi kuadrat dan hubungannya dengan koefisien.

Kita akan mencari tahu hubungan antara koefisien (a, b, dan c) dengan grafik.

Koefisien A

Langsung kita bahas koefisien a atau koefisien kuadrat. Misalnya kita punya y = x² + 1, y = -x² + 1, dan y = ½ x² + 1, maka grafiknya akan seperti pada berikut.

Grafik Fungsi Kuadrat

Kesimpulannya:

Jika a > 0, grafik terbuka ke atas

Jika a < 0, grafik terbuka ke bawah

Semakin besar nilai a, bentuk grafik semakin sempit

Koefisien B

Pada materi ini, diperlukan pengetahuan Sobat Zenius tentang melengkapkan kuadrat sempurna, ya.

Koefisien B disebut juga koefisien linear. Langsung saja, misalnya kita punya contoh persamaan y = x² + 2x + 4.

Kemudian, bentuk tersebut jika dilengkapi kuadrat sempurnanya akan menjadi (x + 1)² + 5, selanjutnya 1 kita sebut c dan 5 kita sebut d. Sebelumnya perlu elo ketahui dulu tentang ini.

Jika c positif, maka sumbu simetri x = -c, titik puncak (-c, d)

Jika c negatif, maka sumbu simetri x = c, titik puncak (c, d)

Kira-kira, grafiknya akan seperti berikut.

Grafik Fungsi Kuadrat

Konstanta C

Sekarang, kita bahas konstanta c terhadap grafik fungsi kuadrat. Konstanta c berpengaruh pada titik potong sumbu y.

Jika c semakin besar, semakin berada di atas

Jika c semakin kecil, semakin berada di bawah

Perhatikan grafik di bawah

Grafik Fungsi Kuadrat

Hubungan antara Diskriminan dengan Grafik Fungsi Kuadrat

Singkatnya, diskriminan adalah nilai yang dapat digunakan untuk menentukan banyaknya solusi persamaan kuadrat. Hubungannya apa dengan grafik fungsi kuadrat? Simak terus agar elo paham hubungan diskriminan dengan grafik fungsi kuadrat, ya.

Jika D > 0, akan ada 2 solusi real, atau grafik akan 2 kali menyentuh sumbu x.

Jika D = 0, akan ada 1 solusi real, atau grafik akan sekali menyentuh sumbu x.

Jika D < 0, tidak ada solusi real, atau grafik tidak akan menyentuh sumbu x.

Contohnya, kita punya fungsi y = 3x² + x + 1, berapa nilai diskriminannya?

D = b² – 4ac = 1² – 4(3)(1)= -11, berarti nilai D < 0, maka grafiknya seperti berikut.

Grafik Fungsi Kuadrat

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1

Jika f(x) = x² – 4x, berapakah nilai dari f(2)?

Jawab:

f(2) = 2² – 4(2) = 4 – 8 = -4

Soal 2

Fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (3, 0) dan (-3, 0) melalui titik (0, -9) adalah …

Jawab

y = a(x – x₁)(x – x₂)

y = a(x + 3)(x – 3)

melalui titik (0, -9)

-9 = a(0 + 3)(0 – 3)

-9 = -9a

a = 1

y = 1(x + 3)(x – 3)

y = -9 + x²

Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = -9 + x².

Itu dia penjelasan singkat mengenai materi fungsi kuadrat dan grafiknya beserta contoh soal dan rumus-rumus dalam menyelesaikannya.

Jika Sobat Zenius ingin mendapatkan contoh soal yang lebih banyak lagi tentang fungsi kuadrat ataupun materi-materi TPS yang lainnya, elo bisa langsung klik banner di bawah ini!

rumus fungsi kuadrat

Di sana, elo bisa belajar sepuasnya sampai yakin kalau udah siap menghadapi SNBT! Terus belajar dan berlatih agar dapat menguasai konsep dan materi kita kali ini. Biar makin mantap, Zenius juga punya beberapa paket belajar yang bisa lo pilih sesuai kebutuhan lo. Yuk langsung aja klik banner di bawah ini!

SKU-BELI-PAKET-BLJR

Jangan lupa untuk terus ikuti keseruan lainnya dari Zenius di YouTube!

Baca Juga Artikel Lainnya

Rumus Persamaan Kuadrat

Rumus ABC

Rumus Diskriminan

Originally published: September 18, 2021

Updated by: Maulana Adieb

Bagikan Artikel Ini!

FacebookTwitterWhatsAppLinkedInLine

Sains & Matematika

Mata Pelajaran

Terbaru dari Zenius

1 / 8

Kuis Zenius

Related Articles

Catatan Perjuangan Murid Zenius yang Lolos SBMPTN 2018 10

UTBK-SBMPTN

Catatan Perjuangan Murid Zenius yang Lolos SBMPTN 2018

July 29, 2018

Perlombaan

Kompilasi Pemenang Lomba Menulis Blog: #CeritaZenius

November 13, 2020

Share Your Comment!

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Comment *

Name*

Email*

Website

Save my name, email, and website in this browser for the next time I comment.

Temukan Paket Belajar yang Cocok Buat Lo!

Langganan Sekara

KEKONGRUENAN DAN KESEBANGUNAN

Kekongruenan dan Kesebangunan Kelas 9

Kekongruenan dan Kesebangunan - Kekongruenan dan Kesebangunan adalah salah satu bagian dari ilmu geometri yang agak mirip. Kekongruenan adalah dua buah bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dilambangkan dengan simbol ≅. Sedangkan kesebangunan adalah dua buah bangun yang memiliki bentuk yang sama akan tetapi ukuran berbeda dilambangkan dengan simbol ≈.

Kekongruenan dan Kesebangunan Kelas 9

Daftar Isi

Kekongruenan

Syarat Dua Bangun Datar Kongruen

Syarat Dua Segitiga Kongruen

Kesebangunan

Syarat Kesebangunan Bangun Datar

Kesebangunan Dua Segitiga

Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku

Kekongruenan

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. Jika kita hubungkan dengan materi sebelumnya yaitu transformasi, maka kita bisa katakan bahwa semua bangun datar yang ditransformasi dengan cara refleksi, translasi dan rotasi memiliki sifat kekongruenan.

Syarat Dua Bangun Datar Kongruen

Dua bangun segi banyak (poligon) dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu:

(i) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan

(ii) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Kekongruenan

Sudut-sudut yang bersesuaian:

∠A dan ∠J → m∠A = m∠J

∠B dan ∠K → m∠B = m∠K

∠C dan ∠L → m∠C = m∠L

∠D dan ∠M → m∠D = m∠M

Sisi-sisi yang bersesuaian:

AB dan JK → AB = JK

BC dan KL → BC = KL

CD dan LM → CD = LM

DA dan MJ → DA = MJ

Jika bangun ABCD dan JKLM memenuhi kedua syarat tersebut, maka bangun ABCD dan JKLM kongruen, dinotasikan dengan ABCD ≅ JKLM. Jika bangun ABCD dan JKLM tidak memenuhi kedua syarat tersebut maka bangun ABCD dan JKLM tidak kongruen, dinotasikan dengan ABCD ≅ JKLM.

Contoh Soal :

1. Segi empat ABCD dan WXYZ pada gambar di bawah kongruen. Manakah sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian?

Segi empat ABCD dan WXYZ

Alternatif Penyelesaian:

sisi bersesuaian

2. Manakah persegi di bawah yang kongruen? Jelaskan!

persegi

Alternatif Penyelesaian:

Dua bangun dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu:

(i) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar Setiap persegi mempunyai empat sudut siku-siku, sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada persegi (a), (b) dan (c) besarnya pasti sama.

(ii) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang

Persegi (a) dan persegi (b)

Panjang setiap sisi persegi (a) adalah 8 cm. Panjang setiap sisi persegi (b) adalah 9 cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi (a) dan (b) tidak sama panjang.

Persegi (b) dan persegi (c)

Panjang setiap sisi persegi (b) adalah 9 cm. Panjang setiap sisi persegi (c) adalah 8 cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi (b) dan (c) tidak sama panjang.

Persegi (a) dan persegi (c)

Panjang setiap sisi persegi (a) adalah 8 cm. Panjang setiap sisi persegi (c) adalah 8 cm.

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi (a) dan (c) sama panjang. Berdasarkan (i) dan (ii) di atas, maka persegi yang kongruen adalah persegi (a) dan (c).

3. Perhatikan gambar trapesium ABCD dan PQRS yang kongruen di bawah ini.

trapesium ABCD dan PQRS

a. Jika panjang sisi AB = 40 cm, BC = 21 cm, RS = 16 cm, dan PS = 15 cm, tentukan panjang sisi AD, DC, PQ, dan QR.

b. Jika besar ∠A = 60o , ∠B = 40o . Berapakah besar ∠R dan ∠S? (selanjutnya, besar ∠A ditulis dengan m∠A, seperti yang sudah kamu kenal di kelas 7 dan 8)

Alternatif Penyelesaian:

Diketahui: bangun ABCD ≅ PQRS, berarti

sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang

sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

a. Untuk menentukan panjang sisi AD, DC, PQ, dan QR, tentukan terlebih dulu sisisisi yang bersesuaian yaitu:

menentukan sisi-sisi yang bersesuaian

(mengapa bukan AB = SR? Jelaskan)

Dengan demikian, jika AB = 40 cm, BC = 21 cm, RS = 16 cm, dan PS = 15 cm maka:

AD = PS = 15 cm

DC = SR = 16 cm

QR = BC = 21 cm

PQ = AB = 40 cm

b. Untuk menentukan m∠R dan m∠S, tentukan terlebih dulu sudut-sudut yang bersesuaian yaitu:

menentukan sudut-sudut yang bersesuaian

Dengan demikian, jika m∠A = 60o , m∠B = 40o maka:

m∠P = m∠A = 60o dan

m∠Q = m∠B = 40o

m∠R + m∠Q = 180o

m∠R = 180o – m∠Q

m∠R = 180o – 40o

m∠R = 140o

m∠S = 180o – m∠P

m∠S = 180o – 60o

m∠S = 120o Jadi

m∠R = 140o dan m∠S = 120o .

Syarat Dua Segitiga Kongruen

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. Dua segitiga dikatakan kongruen jika hanya jika memenuhi syarat berikut ini:

(i) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang

(ii) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Syarat Dua Segitiga Kongruen

Sisi-sisi yang bersesuaian:

AB dan DE → AB = DE

BC dan EF → BC = EF

CA dan FD → CA = FD

Sudut-sudut yang bersesuaian:

∠A dan ∠D → m∠A = m∠D

∠B dan ∠E → m∠B = m∠E

∠C dan ∠F → m∠C = m∠F

atau dengan kata lain

sisi segitiga

Jika ∆ABC dan ∆DEF memenuhi syarat tersebut, maka ∆ABC dan ∆DEF kongruen, dinotasikan dengan ∆ABC ≅ ∆DEF.

Jika ∆ABC dan ∆DEF tidak memenuhi syarat tersebut maka maka ∆ABC dan ∆DEF tidak kongruen, dinotasikan dengan ∆ABC ≇ ∆DEF.

Untuk menguji apakah dua segitiga kongruen atau tidak , tidak perlu menguji semua pasangan sisi dan sudut yang bersesuaian. Dua segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi salah satu kondisi berikut ini:

Ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sisi – sisi – sisi.

Dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Biasa disebut dengan kriteria sisi – sudut – sisi.

Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua sudut tersebut sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sudut – sisi – sudut.

Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sudut – sudut – sisi.

Khusus untuk segitiga siku-siku, sisi miring dan satu sisi siku yang bersesuaian sama panjang.

Contoh Soal

1. Perhatikan gambar di bawah.

Segitiga

Buktikan bahwa ∆ABC ≅ ∆EDC.

Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa:

AC = EC (diketahui ada tanda sama panjang)

m∠ACB = m∠ECD (karena saling bertolak belakang)

BC = DC (diketahui ada tanda sama panjang)

Jadi, ∆ABC ≅ ∆EDC (berdasarkan kriteria sisi – sudut – sisi).

2. Perhatikan gambar di bawah.

layang-layang

Buktikan bahwa ∆PQS ≅ ∆RQS.

Alternatif Penyelesaian: Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa:

PQ = RQ (diketahui ada tanda sama panjang)

PS = RS (diketahui ada tanda sama panjang)

QS pada ∆PQS sama dengan QS pada ∆RQS (QS berimpit)

Jadi, ∆PQS ≅ ∆RQS (berdasarkan kriteria sisi – sisi – sisi).

Kesebangunan

Bangun datar dikatakan sebangun jika memiliki bentuk yang sama walaupun ukurannya berbeda. Kesebangunan sebenarnya bisa kita katakan hasi dari transformasi dilatasi.

Syarat Kesebangunan Bangun Datar

Dua bangun datar yang mempunyai bentuk yang sama disebut sebangun. Tidak perlu ukurannya sama, tetapi sisi-sisi yang bersesuaian sebanding (proportional) dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Perubahan bangun satu menjadi bangun lain yang sebangun melibatkan perbesaran atau pengecilan.

Kesebangunan

Dengan kata lain dua bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat:

(i) perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilai

(ii) sudut yang bersesuaian besarnya sama

m∠A = m∠E

m∠B = m∠F

m∠C = m∠G

m∠D = m∠H

Jika bangun ABCD dan EFGH memenuhi kedua syarat tersebut, maka bangun ABCD dan EFGH sebangun, dinotasikan dengan ABCD ∼ EFGH.

Jika bangun ABCD dan EFGH tidak memenuhi kedua syarat tersebut maka bangun ABCD dan EFGH tidak sebangun, dinotasikan dengan ABCD ≁ EFGH.

Contoh Soal

Perhatikan gambar di bawah ini.

Bangun ABCD dan EFGH

Bangun ABCD dan EFGH sebangun.

Tentukan nilai x, y dan z!

Alternatif Penyelesaian:

Bangun ABCD dan EFGH sebangun berarti sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai, yaitu:

m∠E = m∠A, m∠F = m∠B, m∠G = m∠C, m∠H = m∠D,

Perbandingan sisi bangun datar

Bangun ABCD dan EFGH sebangun dengan sudut-sudut yang bersesuaian m∠E = m∠A, m∠F = m∠B, m∠G = m∠C, dan m∠H = m∠D,

Sehingga,

m∠G = m∠C ⇔ xo = 22,6o

m∠D = 180o – m∠C ⇔ yo = 180o – xo = 180o – 22,6o = 157,4o (Mengapa?)

m∠H = m∠D ⇔ zo = yo = 157,4o

Jadi, nilai adalah xo = 22,6o , yo = 157,4o , dan zo = 157,4o

Kesebangunan Dua Segitiga

Dua segitiga dikatakan sebangun jika hanya jika memenuhi syarat berikut ini.

(i) Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai.

(ii) Besar sudut-sudut yang bersesuaian sama

Dua segitiga sebangun

Perbandingan sisi-sisi

Jika ∆ABC dan ∆A'B'C' memenuhi syarat tersebut, maka ∆ABC dan ∆A'B'C' sebangun, dinotasikan dengan ∆ABC ∼ ∆A'B'C'.

Jika ∆ABC dan ∆A'B'C' tidak memenuhi syarat, tersebut maka ∆ABC dan ∆A'B'C' tidak sebangun, dinotasikan dengan ∆ABC ≁ ∆A'B'C'.

Syarat Dua Segitiga Sebangun

Untuk lebih sederhana, berdasarkan Kegiatan 2, dua segitiga dikatakan sebangun (misal: ∆ABC ∼ ∆A'B'C'), jika memenuhi salah satu kondisi berikut ini.

1. Perbandingannya ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama, yaitu:

Perbandingannya ketiga pasangan sisi

Kesebangunan Segitiga

2. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar.

Contoh: m∠A = m∠A' dan m∠B = m∠B'

Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar

3. Perbandingan dua pasang sisi yang bersesuaian sama dan sudut yang diapitnya sama besar.

Perbandingan dua pasang sisi

Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku

Perhatikan gambar. Dengan memperhatikan bahwa ΔABC ∼ ΔDBA, ΔABC ∼ ΔDAC dan ΔDBA ∼ ΔDAC, diperoleh:

Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku

Contoh Soal

1. Perhatikan gambar di bawah ini

dua segitiga

Buktikan bahwa ∆ABC ∼ ∆ADE.

Alternatif Penyelesaian:

Pada ∆ABC dan ∆ADE dapat diketahui bahwa:

m∠ABC = m∠ADE (karena BC//DE, dan ∠ABC sehadap

∠ADE) m∠BAC = m∠DAC

m∠BAC = m∠DAC (karena ∠BAC dan ∠DAC berhimpit)

Karena dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar, jadi ∆ABC ∼ ∆ADE. (terbukti)

2. Diketahui seorang siswa dengan tinggi badan 150 cm menghadap tiang bendera pada pagi hari yang cerah. Panjang bayangan siswa adalah 2,5 m dan panjang bayangan tiang bendera adalah 6 m. Tentukan tinggi tiang bendera tersebut.

Alternatif Penyelesaian:

Diketahui:

Tinggi badan siswa = 150 cm

Panjang bayangan siswa = 2,5 m = 250 cm

Panjang bayangan tiang bendera = 6 m = 600 cm

Misal tinggi tiang bendera = t

Permasalahan di atas dapat dibuat model atau sketsa sebagai berikut:

Penerapan kesebangunan segitiga

Jadi, tinggi tiang bendera tersebut adalah 360 cm atau 3,6 m

BAGIKAN ARTIKEL INI

SISTEM KOORDINAT

Sistem koordinat

sistem untuk mendeterminasi posisi sebuah titik oleh sebuah garis

Bahasa

Unduh PDF

Pantau

Sunting

Dalam geometri, sistem koordinat adalah suatu sistem yang menggunakan satu atau lebih bilangan, atau koordinat, untuk secara unik menentukan posisi suatu titik atau unsur geometris lain pada manifold seperti ruang Euklides.[1][2] Urutan koordinat adalah signifikan, dan mereka kadang-kadang diidentifikasi oleh posisi mereka dalam tuple dan kadang-kadang dengan huruf, seperti dalam "x-coordinate". Koordinat terdiri atas bilangan real dalam matematika dasar, tetapi dapat terdiri dari bilangan kompleks atau elemen-elemen dari sistem yang lebih abstrak seperti sebuah cincin komutatif. Penggunaan sistem koordinat memungkinkan masalah dalam geometri untuk diterjemahkan ke dalam masalah-masalah tentang angka dan sebaliknya; ini adalah dasar dari geometri analitis.[3]

Sistem koordinat sferis biasa digunakan dalam fisika. Ini memberikan tiga angka (dikenal sebagai koordinat) untuk setiap titik dalam ruang Euklides: jarak radial r, sudut kutub θ (theta), dan sudut azimut φ (phi). Simbol ρ (rho) sering digunakan sebagai pengganti r.